UTU PALERMO: Tercero Técnico Vestimenta
22 de Abril
Estuvimos viendo que la geometría analítica permite determinar la posición de un punto en el plano, relacionar una recta paralela a un eje con una ecuación y determinar la posición del punto medio entre dos puntos.
Ahora veremos como calcular la distancia entre dos puntos del plano de forma analítica
En esa imagen vemos dos punto P1 y P2. Estamos tratando de saber cual es la distancia entre ellos. O sea cual es la longitud* del segmento pintado de azul.
Aquí veremos uno de los resultados mas notables de la geometría analítica y el porqué es conveniente de que los ejes sean perpendiculares.
Se puede observar en la figura que al proyectar las abscisas y las ordenadas de ambos puntos se forma un triángulo rectángulo.
Se puede observar también que al conocer las coordenadas de los puntos tenemos conocidas las longitudes* de los catetos de ese triángulo y es una incógnita la longitud* de la hipotenusa, que justamente es la longitud* que deseamos conocer.
¿Hay alguna propiedad matemática que relacione las medidas de los lados de un triángulo rectángulo?
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Sí, existe, es el Teorema de Pitágoras.
Recordemos que este teorema funciona en triángulos rectángulos y los lados de un triángulo rectángulo reciben denominaciones especiales.
Ahora sí enunciemos el teorema.
La relación de Pitágoras está escrita en el rectángulo verde y a la derecha se plantean algunas fórmulas que se deducen de ella. Estas son útiles para calcular la medida de la hipotenusa (la primera fórmula) o la medida de algún cateto (la segunda y la tercera fórmula)
Utilizando el teorema en la situación planteada al inicio se llega a la fórmula de distancia entre dos puntos:
Veamos algunos ejemplos:
Otro ejemplo:
Ejercicios:
Ejercicio 1:
Encontrar la distancia entre los siguientes puntos: (representar gráficamente)
1) A(1,5) B(4, 1)
2) A(-4,-3) B(2,5)
Ejercicio 2:
Reflexionar sobre que ocurre si calculamos la distancia entre dos puntos que estén en una recta paralela al eje de las x. ¿Es necesario aplicar esta fórmula? ¿La fórmula no es válida?
Ejercicio 3:
La misma situación anterior pero ahora con la recta paralela al eje de las y.
Ejercicio 4:
Determinar analíticamente si el triángulo ABC es equilátero.
Imagenes: Google
Estuvimos viendo que la geometría analítica permite determinar la posición de un punto en el plano, relacionar una recta paralela a un eje con una ecuación y determinar la posición del punto medio entre dos puntos.
Ahora veremos como calcular la distancia entre dos puntos del plano de forma analítica
En esa imagen vemos dos punto P1 y P2. Estamos tratando de saber cual es la distancia entre ellos. O sea cual es la longitud* del segmento pintado de azul.
Aquí veremos uno de los resultados mas notables de la geometría analítica y el porqué es conveniente de que los ejes sean perpendiculares.
Se puede observar en la figura que al proyectar las abscisas y las ordenadas de ambos puntos se forma un triángulo rectángulo.
Se puede observar también que al conocer las coordenadas de los puntos tenemos conocidas las longitudes* de los catetos de ese triángulo y es una incógnita la longitud* de la hipotenusa, que justamente es la longitud* que deseamos conocer.
¿Hay alguna propiedad matemática que relacione las medidas de los lados de un triángulo rectángulo?
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Sí, existe, es el Teorema de Pitágoras.
Recordemos que este teorema funciona en triángulos rectángulos y los lados de un triángulo rectángulo reciben denominaciones especiales.
Ahora sí enunciemos el teorema.
La relación de Pitágoras está escrita en el rectángulo verde y a la derecha se plantean algunas fórmulas que se deducen de ella. Estas son útiles para calcular la medida de la hipotenusa (la primera fórmula) o la medida de algún cateto (la segunda y la tercera fórmula)
Utilizando el teorema en la situación planteada al inicio se llega a la fórmula de distancia entre dos puntos:
Veamos algunos ejemplos:
Otro ejemplo:
Ejercicios:
Ejercicio 1:
Encontrar la distancia entre los siguientes puntos: (representar gráficamente)
1) A(1,5) B(4, 1)
2) A(-4,-3) B(2,5)
Ejercicio 2:
Reflexionar sobre que ocurre si calculamos la distancia entre dos puntos que estén en una recta paralela al eje de las x. ¿Es necesario aplicar esta fórmula? ¿La fórmula no es válida?
Ejercicio 3:
La misma situación anterior pero ahora con la recta paralela al eje de las y.
Ejercicio 4:
Determinar analíticamente si el triángulo ABC es equilátero.
Imagenes: Google
03 de Abril:
Sigo esperando contacto de ustedes.
Deben realizar todas las tareas propuestas en este blog.
Seguimos adelante. Habíamos trabajado en la ultima clase con coordenadas del punto medio.
Veamos ahora una propiedad geométrica muy conocida:
En todo paralelogramo sus diagonales se cortan por su punto medio.
Compruebalo en este applet interactivo en el cual puedes mover los vértices del paralelogramo y observando que las diagonales se cortan en su punto medio
https://www.geogebra.org/classic?lang=es
Recíprocamente todo cuadrilátero cuyas diagonales se cortan por su punto medio es un paralelogramo.
Ejemplo Ejercicio 1 : Dados dos segmentos de 10 y 7 cm construir un cuadrilátero donde estos segmentos sean las diagonales cortándose por su punto medio
Basados en esta propiedad se puede
Ejemplo Ejercicio 2 : (demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo)
Dados A (1,5), B(4,9), C(11,3) y D(8,-1) Demostrar que el cuadrilátero ABCD es un paraelogramo
Respuesta:
Si las diagonales se cortan en su punto medio entonces es paralelogramo
Diagonal AC, Punto medio: x= (1+11)/2= 6 y=(5+3)/2=4 (6,4)
Diagonal BD, Punto medio: x=(4+8)/2= 6 y=(9+(-1))/2 = 4 (6,4)
Ambas diagonales tienen el mismo punto medio por lo tanto los cuatro vértices forman un paralelogramo.
Ejemplo Ejercicio 3: (Encontrar los vértices de un paralelogramo)
Dados a(1,5), B(4,9) y C( 11,3) Encontrar las coordenadas del vértice D para que ABCD sea un paralelgramo.
Respuesta:
Si las diagonales se cortan en su punto medio entonces es paralelogramo
Diagonal AC, Punto medio: x= (1+11)/2= 6 y=(5+3)/2=4 (6,4)
Diagonal BD: 6= (4 + xD)/2 → 12= 4 + xD → 12 -4 = xD → 8 = xD
4= (9 + yD)/2 → 8 = 9+ yD → 8 - 9 = yD → -1= yD
Coordenadas de D ( 8, -1)
Ejercicios I:
Determinar si los siguientes cuadriláteros son paralelogramos:
1) A(9,2), B(11,6), C(3,5) y D(1,1)
2) A(-2,-3), B6,1), C(2,4) y D(-2,2)
3) A(7,5) B(4,3) C(3,-3) y D( 8,-1)
En caso de que no sean paralelogramos corregir las coordenadas de D para que si lo sea.
Otra propiedad muy conocida es la siguiente:
En todo cuadrilátero los puntos medios de los lados determinan un paralelogramo.
Ingresa a la siguiente app y comprueba moviendo los vértices A o B o C o D que esta propiedad se cumple.
https://www.geogebra.org/classic/jtg92ask
Ejercicios II :
Demostrar que los puntos medios del cuadrilátero A(-10,5), B(7,9), C(7,-11) y D (3, -5) es un paralelogramo.
Espero las entregas de los ejercicios I y II. Pueden sacarle una foto y enviarlo como imagen adjunta por correo electrónico.
Plazo: 10/04/2020
Marzo:
Vamos a retomar en donde nos quedamos la ultima clase.
Sigo esperando contacto de ustedes.
Deben realizar todas las tareas propuestas en este blog.
Seguimos adelante. Habíamos trabajado en la ultima clase con coordenadas del punto medio.
Ejemplo:
En todo paralelogramo sus diagonales se cortan por su punto medio.
Compruebalo en este applet interactivo en el cual puedes mover los vértices del paralelogramo y observando que las diagonales se cortan en su punto medio
https://www.geogebra.org/classic?lang=es
Recíprocamente todo cuadrilátero cuyas diagonales se cortan por su punto medio es un paralelogramo.
Ejemplo Ejercicio 1 : Dados dos segmentos de 10 y 7 cm construir un cuadrilátero donde estos segmentos sean las diagonales cortándose por su punto medio
Basados en esta propiedad se puede
Ejemplo Ejercicio 2 : (demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo)
Dados A (1,5), B(4,9), C(11,3) y D(8,-1) Demostrar que el cuadrilátero ABCD es un paraelogramo
Respuesta:
Si las diagonales se cortan en su punto medio entonces es paralelogramo
Diagonal AC, Punto medio: x= (1+11)/2= 6 y=(5+3)/2=4 (6,4)
Diagonal BD, Punto medio: x=(4+8)/2= 6 y=(9+(-1))/2 = 4 (6,4)
Ambas diagonales tienen el mismo punto medio por lo tanto los cuatro vértices forman un paralelogramo.
Ejemplo Ejercicio 3: (Encontrar los vértices de un paralelogramo)
Dados a(1,5), B(4,9) y C( 11,3) Encontrar las coordenadas del vértice D para que ABCD sea un paralelgramo.
Respuesta:
Si las diagonales se cortan en su punto medio entonces es paralelogramo
Diagonal AC, Punto medio: x= (1+11)/2= 6 y=(5+3)/2=4 (6,4)
Diagonal BD: 6= (4 + xD)/2 → 12= 4 + xD → 12 -4 = xD → 8 = xD
4= (9 + yD)/2 → 8 = 9+ yD → 8 - 9 = yD → -1= yD
Coordenadas de D ( 8, -1)
Ejercicios I:
Determinar si los siguientes cuadriláteros son paralelogramos:
1) A(9,2), B(11,6), C(3,5) y D(1,1)
2) A(-2,-3), B6,1), C(2,4) y D(-2,2)
3) A(7,5) B(4,3) C(3,-3) y D( 8,-1)
En caso de que no sean paralelogramos corregir las coordenadas de D para que si lo sea.
Otra propiedad muy conocida es la siguiente:
En todo cuadrilátero los puntos medios de los lados determinan un paralelogramo.
Ingresa a la siguiente app y comprueba moviendo los vértices A o B o C o D que esta propiedad se cumple.
https://www.geogebra.org/classic/jtg92ask
Ejercicios II :
Demostrar que los puntos medios del cuadrilátero A(-10,5), B(7,9), C(7,-11) y D (3, -5) es un paralelogramo.
Espero las entregas de los ejercicios I y II. Pueden sacarle una foto y enviarlo como imagen adjunta por correo electrónico.
Plazo: 10/04/2020
Marzo:
Vamos a retomar en donde nos quedamos la ultima clase.
Estábamos trabajando con el punto medio de un segmento.
Anteriormente habíamos visto que es posible asociar a cada recta paralela a los ejes con una ecuación algebraica. Es decir, mal y pronto (*), que todos los puntos de esa recta son solución de esa ecuación.
Repasemos eso un momento antes de seguir con lo de punto medio.
Tomese un momento para identificar cual recta corresponde a cada ecuación.
Reflexione sobre el significado de que un punto sea solución de una ecuación.
¿En qué sentido esta frase es cierta?
Luego envíe sus respuestas al correo de la profesora: luciabrunrepetto@gmail.com
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